無限と連続

会社のある人が、
「世の中は離散的だ！離散的でないとアキレスと亀の説明はできない！量子力学もそのことを物語っている。」
もう少しわかりやすい表現にすると
「世の中は連続に見えるが、パラパラ動画みたいなもんだ！」
という持論をもつ方がいらっしゃって、しばしばその方と歓談します。
大抵のことはすぐさま直感で結論を出す私ですが、この件だけはどうも自分自身で納得できる理屈が沸いてこないので、自分の意見をはっきりと伝えることができません。
んだもんですから、自分の頭を整理する意味も含めて
「この世の中は連続か？」というテーマで考えてみたいと思います。

まず、連続とはなんだろうか？

さて似たような概念に　稠密（ちゅうみつ）と言うものがあるが、連続との違いを明らかにしておきたい。
＋＋＋稠密の定義＋＋＋
厳密にやると位相空間で定義することになるので、
イメージを掴むのが目的なので数直線をイメージして考えてみる。
ある数の集合　Ｇ　から任意の2元をとりだした場合、その間に必ず　Ｇに属する元が存在する。
つまり任意のa　bに対して　a< c <b なるcが必ず存在して　それがＧの要素である。
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
なんか一般人にとっては稠密も連続のイメージと合っているw感じがしなくもないがww
そもそも本コラムの命題「この世は連続か？」という文言自体「この世は稠密か？」と
区別して発せられたものか疑問になってくるw
まあ量子力学なら　本当離れてるんで・・気にしなくていいかww

さて次は連続の定義だが、

連続⇒稠密　だが　逆はだめ

任意の収束列⇒コーシー列　　だが　逆はだめ　ただし　ただし実数列を前提とすると　コーシー列⇒収束列　も成り立つ

関数f(x)がある点x0で連続とはf(x0)
高名なイプシロンデルタ論法を用いると次のようにかけるようだ。

実は有理数は不連続で無理数は連続である。
イメージとして捉えるならデデキントの（切断）定理を公理を持ち出すとわかりやすい

余談になるが面白いのが、

微分可能⇒連続性⇒積分可能　だが　逆はだめ

2012/12/04